Olika typer av Chebyshev-filter med beräkningar

Namnet på Chebyshev-filter kallas efter 'Pafnufy Chebyshev' eftersom dess matematiska egenskaper härrör bara från hans namn. Chebyshev-filter är ingenting annat än analoga eller digitala filter. Dessa filter har ett brantare avrullnings- och typ-1-filter (mer passband-krusning) eller typ-2-filter (stoppband-krusning) än Butterworth filter . Egenskapen hos detta filter är att det minskar felet mellan egenskapen hos det faktiska och idealiserade filtret. Eftersom, inneboende i passbandet krusning i detta filter.

Chebyshev-filter

Chebyshev-filter används för distinkta frekvenser av ett band från ett annat. De kan inte matcha Windows-diskfilterets prestanda och de är lämpliga för många applikationer. Huvudfunktionen i Chebyshev-filtret är deras hastighet, normalt snabbare än fönster-sync. Eftersom dessa filter utförs genom rekursion snarare än faltning. Utformningen av Chebyshev- och Windowed-Sinc-filtren beror på en matematisk teknik som kallas Z-transform.

Chebyshev-filter

Typer av Chebyshev-filter

Chebyshev-filter klassificeras i två typer, nämligen typ I Chebyshev-filter och typ II Chebyshev-filter.

Typ-I Chebyshev-filter

Denna typ av filter är den grundläggande typen av Chebyshev-filter. Amplituden eller förstärkningssvaret är en vinkelfrekvensfunktion av den n: e ordningen för LPF (lågpassfilter) är lika med det totala värdet för överföringsfunktionen Hn (jw)

Gn (w) = | Hn (jω) | = 1√ (1 + ϵ2Tn2 () ω / ωo)

Där ε = krusningsfaktor
ωo = avstängningsfrekvens
Tn = Chebyshev polynom av nionde ordningen

Pass-bandet visar prestanda för jämvikt. I detta band växlar filtret mellan -1 & 1 så att förstärkningen av filtret växlar mellan max vid G = 1 och min vid G = 1 / √ (1 + ε2). Vid avstängningsfrekvensen har förstärkningen värdet 1 / √ (1 + ε2) och återstår att misslyckas i stoppbandet när frekvensen ökar. Filterets beteende visas nedan. Gränsfrekvensen vid -3dB tillämpas vanligtvis inte på Chebyshev-filter.

Typ-I Chebyshev-filter

Ordningen på detta filter liknar nej. av de reaktiva komponenter som krävs för Chebyshev-filtret med analoga enheter. Krusningen i dB är 20log10 √ (1 + ε2). Så att amplituden för en krusning av en 3db resulterar från ε = 1 En ännu brantare avrullning kan hittas om krusning är tillåten i stoppbandet, genom att tillåta 0 på jw-axeln i det komplexa planet. Men denna effekt i mindre undertryckande i stoppbandet. Effekten kallas ett Cauer- eller elliptiskt filter.

Polacker och nollor av Type-I Chebyshev-filter

Polerna och nollorna i typ-1 Chebyshev-filtret diskuteras nedan. Polerna i Chebyshev-filtret kan bestämmas av filtrets förstärkning.
-js = cos (θ) & definitionen av filterets trigonometriska kan skrivas som

Här kan θ lösas av

Där de många värdena för båge-cosinusfunktionen har klargjorts med hjälp av talindexet m. Då är Chebyshev-förstärkningspolens funktioner
Med hjälp av egenskaperna hos hyperboliska och trigonometriska funktioner kan detta skrivas i följande form

Ovanstående ekvation ger polerna för förstärkningen G. För varje pol finns det det komplexa konjugatet, och för varje par av konjugatet finns det ytterligare två negativ av paret. TF ska vara stabil, överföringsfunktionen (TF) ges av

Typ-II Chebyshev-filter

Typ II Chebyshev-filter är också känt som ett inversfilter är denna typ av filter mindre vanligt. För det rullar inte av och behöver olika komponenter . Det har ingen krusning i passbandet, men det har likriktning i stoppbandet. Förstärkningen av typ II Chebyshev-filtret är
I stoppbandet växlar Chebyshevs polynom mellan -1 & och 1 så att förstärkningen 'G' växlar mellan noll och

Typ-II Chebyshev-filter

Den minsta frekvensen vid vilken detta max uppnås är gränsfrekvensen

För en 5 dB stoppbanddämpning är värdet på e 0,6801 och för en 10 dB stoppbanddämpning är värdet på e 0,33333. Gränsfrekvensen är f0 = ω0 / 2π0 och 3dB-frekvensen fH härleds som

Poler och nollor av typ II Chebyshev-filter

Antag att avstängningsfrekvensen är lika med 1, filterets poler är nollor på förstärkningens nämnare
Polerna för förstärkningen av typ II-filtret är motsatsen till polerna av typ I Chebyshev-filter

Här i ovanstående ekvation m = 1, 2, ..., n. Nollorna för typ II-filtret är nollor för förstärkarens täljare

Nollorna av typ II Chebyshev-filtret är motsatta nollorna för Chebyshev-polynomet.
Här är m = 1,2,3, ……… n

Genom att använda ett vänstra halvplan ges TF förstärkningsfunktionen och har liknande nollor som är enkla snarare än dubbla nollor.

Detta handlar alltså om Chebyshev-filter, typer av Chebyshev-filter, poler och nollor för Chebyshev-filter och överföringsfunktionsberäkning. Vi hoppas att du har fått en bättre förståelse för detta koncept, dessutom frågor om detta ämne eller elektronikprojekt , ge din feedback genom att kommentera i kommentarsektionen nedan. Här är en fråga till dig, vilka tillämpningar använder Chebyshev-filter?