Den enkla harmoniska rörelsen uppfanns av den franska matematikern Baron Jean Baptiste Joseph Fourier 1822. Edwin Armstrong (18 DEC 1890 till 1 FEBRUAR 1954) observerade svängningar 1992 i sina experiment och Alexander Meissner (14 SEP 1883 till 3 JAN 1958) uppfann oscillatorer i mars 1993. Termen harmonisk är ett latinskt ord. Denna artikel diskuterar en översikt över den harmoniska oscillatorn som inkluderar dess definition, typ och dess tillämpningar.
Vad är Harmonic Oscillator?
Harmonisk oscillator definieras som en rörelse där kraften är direkt proportionell mot partikeln från jämviktspunkten och den producerar utgång i en sinusformad vågform. Kraften som orsakar harmonisk rörelse kan matematiskt uttryckas som
F = -Kx
Var,
F = Återställningskraft
K = Fjäderkonstant
X = Avstånd från jämvikt
blockdiagram-över-harmonisk-oscillator
Det finns en punkt i harmonisk rörelse där systemet oscillerar, och kraften som för massan om och om igen vid samma punkt från varifrån den startar, kallas kraften återställningskraft och punkten kallas jämviktspunkt eller medelposition. Denna oscillator är också känd som en linjär harmonisk oscillator . Energin flödar från aktiv komponenter till passiva komponenter i oscillatorn.
Blockdiagram
De blockdiagram över den harmoniska oscillatorn består av en förstärkare och ett feedbacknätverk. Förstärkaren används för att förstärka signalerna och att förstärkta signaler skickas genom ett återkopplingsnätverk och genererar utsignalen. Där Vi är ingångsspänningen, Vo är utgångsspänningen och Vf är återkopplingsspänningen.
Exempel
Mässa på en vår: Fjädern ger återställningskraft som accelererar massan och återställningskraften uttrycks som
F = ma
Där 'm' är massan och a är en acceleration.
mass-on-a-spring
Våren består av en massa (m) och kraft (F). När kraften drar massan vid en punkt x = 0 och bara beror på x - massans position och fjäderkonstanten representeras av en bokstav k.
Typer av harmonisk oscillator
Typer av denna oscillator inkluderar huvudsakligen följande.
Forced Harmonic Oscillator
När vi applicerar extern kraft på systemets rörelse, sägs rörelsen vara en tvingad harmonisk oscillator.
Dämpad harmonisk oscillator
Denna oscillator definieras som, när vi applicerar extern kraft på systemet, minskar oscillatorns rörelse och dess rörelse sägs vara dämpad harmonisk rörelse. Det finns tre typer av dämpade harmoniska oscillatorer
dämpningsvågformer
Överdämpad
När systemet rör sig långsamt mot jämviktspunkten sägs det vara en överdämpad harmonisk oscillator.
Under Dämpad
När systemet rör sig snabbt mot jämviktspunkten sägs det vara en överdämpad harmonisk oscillator.
Kritisk dämpad
När systemet rör sig snabbt som möjligt utan att svänga om jämviktspunkten sägs det vara en överdämpad harmonisk oscillator.
Kvant
Det uppfanns av Max Born, Werner Heisenberg och Wolfgang Pauli vid ”University of Göttingen”. Ordet kvant är det latinska ordet och betydelsen av kvant är en liten mängd energi.
Zero Point Energy
Nollpunktsenergin är också känd som marktillståndsenergi. Det definieras när jordtillståndsenergi alltid är större än noll och detta koncept upptäcks av Max Planck i Tyskland och formeln utvecklades 1990.
Genomsnittlig energi för dämpad enkel harmonisk oscillatorekvation
Det finns två typer av energier, de är kinetisk energi och potentiell energi. Summan av kinetisk energi och potentiell energi är lika med den totala energin.
E = K + U ………………. Ekv (1)
Där E = Total energi
K = Kinetisk energi
U = Potentiell energi
Där k = k = 1/2 mvtvå………… ekv. (2)
U = 1/2 kxtvå………… ekvivalenter (3)
svängningscykel- för medelvärden
Medelvärdena för kinetisk och potentiell energi per svängningscykel är lika med
Var vtvå= vtvå(TILLtvå-xtvå) ……. ekv (4)
Ersättare ekv (4) i ekv (2) och ekv (3) får
k = 1/2 m [wtvå(TILLtvå-xtvå)]
= 1/2 m [Aw cos (vikt + ø0)]två……. ekv (5)
U = 1/2 kxtvå
= 1/2 k [A sin (wt + ø0)]två……. ekv (6)
Ersättare ekv (5) och ekv (6) i ekv (1) får det totala energivärdet
E = 1/2 m [wtvå(TILLtvå-xtvå)] + 1/2 kxtvå
= 1/2 m vtvå-1/2 m vikttvåTILLtvå+ 1/2 kxtvå
= 1/2 m vtvåTILLtvå+1/2 xtvå(K-mwtvå) ……. ekv (7)
Var mwtvå= K , ersätt detta värde i ekv (7)
E = 1/2 K Atvå- 1/2 Kxtvå+ 1/2 xtvå= 1/2 K Atvå
Total energi (E) = 1/2 K Atvå
Genomsnittliga energier för en tidsperiod uttrycks som
TILLgenomsnitt= Ugenomsnitt= 1/2 (1/2 K Atvå)
Harmonisk oscillatorvågfunktion
Hamilton-operatören uttrycks som en summa av kinetisk energi och potentiell energi och den uttrycks som
ђ (Q) = T + V ……………… .ekv (1)
Var ђ = Hamitonisk operatör
T = Kinetisk energi
V = Potentiell energi
För att generera vågfunktionen måste vi känna Schrodinger-ekvationen och ekvationen uttrycks som
-đtvå/ 2μ * dtvåѱυ(Q) / dQtvå+ 1 / 2KQtvåѱυ(Q) = Eυѱυ(F) …………. ekv (2)
Där Q = längd på den normala koordinaten
Μ = Effektiv massa
K = Kraftkonstant
Schrodinger ekvationsgränsvillkor är:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
Vi kan också skriva ekvationen (2) som
dtvåѱυ(Q) / dQtvå+ 2μ / đtvå(Eυ-K / 2 * Ftvå) ѱυ(Q) = 0 ………… ekv. (3)
Parametrar som används för att lösa en ekvation är
β = ђ / √μk ……… .. ekv. (4)
dtvå/ dQtvå= 1 / ptvådtvå/ dxtvå………… .. ekv. (5)
Ersätt ekv (4) och ekv (5) i ekv (3), då blir differentialekvationen för denna oscillator
dtvåѱυ(Q) / dxtvå+ (2μbtvåEυ/ đtvå- xtvå) ѱυ(x) = 0 ……… .. ekv (6)
Det allmänna uttrycket för power series är
ΣC¬nx2 …………. ekv (7)
En exponentiell funktion uttrycks som
exp (-xtvå/ 2) ………… ekvivalenter (8)
ekv (7) multipliceras med ekv (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) ……………… ..ekv (9)
Hermitpolynom erhålls med hjälp av nedanstående ekvation
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xtvå) d / dxυ* exp (-xtvå) …………… .. ekv (10)
Normaliseringskonstanten uttrycks som
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
De enkel harmonisk oscillatorlösning uttrycks som
Ѱυ(x) = NυHυ(och) e-x2 / 2……………… ekvivalenter (12)
Där Nυär normaliseringskonstanten
H υ är eremiten
är -x2 / tvåär Gaussian
En ekvation (12) är vågfunktionen hos den harmoniska oscillatorn.
Denna tabell visar den första termen Hermite-polynom för de lägsta energitillstånden
| υ | 0 | 1 | två | 3 |
Hυ(Y) | 1 | 2 år | 4ytvå-2 | 8y3-12 år |
Vågfunktionerna i enkel harmonisk oscillatorgraf för fyra lägsta energitillstånd visas i nedanstående figurer.
vågfunktioner-av-harmonisk-oscillator
Sannolikhetstätheten för denna oscillator för de fyra lägsta energitillstånden visas i nedanstående figurer.
sannolikhetsdensiteter av vågformer
Applikationer
Simple harmonisk oscillatorapplikationer innehåller främst följande
- Ljud- och videosystem
- Radio och andra kommunikationsenheter
- Omvandlare , Larm
- Surrare
- Dekorativa lampor
Fördelar
De fördelarna med den harmoniska oscillatorn är
- Billig
- Högfrekvensgenerering
- Hög effektivitet
- Billig
- Bärbara
- Ekonomisk
Exempel
Exemplet med denna oscillator inkluderar följande.
- Musikinstrument
- Enkel pendel
- Massfjädersystem
- Gunga
- Rörelsen från klockans händer
- Rörelsen av hjulen på bilar, lastbilar, bussar osv
Det är en typ av rörelse som vi kan observera på våra dagliga baser. Harmonisk oscillator vågfunktion med Schrodinger och ekvationer för den harmoniska oscillatorn härleds. Här är en fråga, vilken typ av rörelse som utförs av bungee jumping?
