Matematik spelar en avgörande roll för att förstå beteendet och arbetet hos elektrisk och elektroniska system . Polynom, algebra, sannolikhet, integrationer och differentiering etc ... utgör en betydande del av de verktyg som används för att lösa systemen. Med den ökande komplexiteten i systemen krävs mycket sofistikerade metoder. Differentiella ekvationer används framträdande för att definiera styrsystem. Dessa ekvationer är enkla att lösa. Men komplexitet uppstår vid lösning av differentiella ekvationer med högre ordning. För att lösa sådana komplexa högre ordningsdifferentialekvationer är den matematiska metoden som visade sig vara effektiv Laplace Transform . Eftersom denna omvandling används i stor utsträckning är det bra att veta vad de egentligen menade för och hur de fungerar.

Vad är en Laplace Transform?

I matematik används transformationer för att omvandla en variabel från en form till en annan för att göra ekvationen lätt att hantera. Laplace transforms gör i stort sett samma sak. De omvandlar differentiell ekvation av högre ordning till en polynomform som är mycket lätt än att lösa differentiell ekvation direkt.

Men det finns olika transformationer som Fourier-transform, z transformerar vad som gör Laplace-transformationen speciell? Den största fördelen med Laplace-transform är att de definieras för både stabila och instabila system medan Fourier-transformationer endast definieras för stabila system.

Laplace Transform Formula

En Laplace-transformation av funktion f (t) i en tidsdomän, där t är det verkliga talet större än eller lika med noll, ges som F (s), där det finns s är det komplexa talet i frekvensdomän. dvs. s = σ + jω
Ovanstående ekvation betraktas som ensidig Laplace-transformationsekvation . När gränserna utökas till hela den verkliga axeln då Bilateral Laplace-transformation kan definieras som
I praktiska kretsar som RC- och RL-kretsar vanligtvis används initiala villkor så att ensidiga Laplace-transformer används för analysändamål.
Eftersom s = σ + javes, när σ = 0 fungerar Laplace-transformationer som Fourier-transform.

“variabelt likströmsspänningskretsschema ”

Laplace Transform Formler

Villkor för tillämpning av Laplace Transform

Laplace-transformationer kallas integrerade transformationer så det finns nödvändiga förutsättningar för konvergens av dessa transformationer.
dvs f måste vara lokalt integrerbart för intervallet [0, ∞) och beroende på om σ är positiv eller negativ kan e ^ (- σt) förfalla eller växa. För bilaterala Laplace-transformationer snarare än ett enda värde konvergerar integralen över ett visst intervall av värden som kallas Region of Convergence.

Egenskaper hos Laplace Transform:

Linjäritet

Tidsförskjutning

Skift i S-domän

Tidsförskjutning

Differentiering i S-domän

Konvolution i tid

Initialt värde

Initialvärdessats tillämpas när i Laplace-transform är täljarens grad mindre än nämnarens Slutlig värdesats:

“vad är ac och dc aktuella exempel ”

Om alla polerna i sF (s) ligger i den vänstra halvan av S-planets slutvärde sats tillämpas.

Invers Laplace Transform

På grund av konvergens har Laplace-transform också en invers transform. Laplace-transformationer visar en-till-en-mappning från ett funktionsutrymme till ett annat. Formeln för Inverse Laplace-transform är

Hur man beräknar Laplace Transform?

Laplace-transform gör ekvationerna enklare att hantera. När en högre ordningsdifferentialekvation ges, appliceras Laplace-transform på den som omvandlar ekvationen till en algebraisk ekvation, vilket gör det lättare att hantera. Sedan beräknar vi rötterna genom att förenkla denna algebraiska ekvation. Nu finns invers Laplace-transformation av enklare uttryck som löser den givna högre ordningens differentiella ekvation.

Beräkning av Laplace Transform

Tillämpningar av Laplace Transform

Analys av elektriska och elektroniska kretsar .
Att bryta ner komplexa differentiella ekvationer i enklare polynomformer.
Laplace-transform ger information om såväl stabila som övergående tillstånd.
I maskininlärning används Laplace-transformen för att göra förutsägelser och göra analyser vid datautvinning.
Laplace-transform förenklar beräkningar i systemmodellering.

Tillämpning av Laplace Transform i signalbehandling

Laplace-transformationer väljs ofta för signalbehandling. Tillsammans med Fourier-omvandlingen, Laplace-omvandling används för att studera signaler i frekvensdomänen. När det finns små frekvenser i signalen i frekvensdomänen kan man förvänta sig att signalen blir jämn i tidsdomänen. Filtrering av en signal görs vanligtvis i frekvensdomänen för vilken Laplace fungerar som ett viktigt verktyg för att konvertera en signal från tidsdomän till frekvensdomän.

Tillämpning av Laplace Transform i kontrollsystem

Kontrollsystem är vanligtvis utformade för att kontrollera beteendet hos andra enheter. Exempel av kontrollsystem kan sträcka sig från en enkel hemuppvärmningsregulator till ett industriellt styrsystem som reglerar maskinens beteende.

Generellt använder styringenjörer differentialekvationer för att beskriva beteendet hos olika funktionella block med sluten slinga. Laplace-transform används här för att lösa dessa ekvationer utan förlust av viktig variabelinformation.

Karaktärisering av linjära tidsvarierande system med användning av Laplace Transform

För ett avslappnat system-ROC associerat med systemet är funktionen det högra halvplanet. Ett system är anti-casual om dess impulssvar h (t) = 0 för t> 0.

Om ROC för systemfunktionerna H (s) inkluderar jω-axeln så kommer L.T.I. systemet kallas ett stabilt system. Om ett tillfälligt system med rationella systemfunktioner H (s) har negativa verkliga delar för alla dess poler är systemet stabilt.

Således är Laplace-transformation ett viktigt verktyg för att analysera kretsar. Vi kan säga som ett stetoskop är att läkare Laplace förvandlar är att kontrollera ingenjör. Vad anser du om Laplace-transformationer som? På vilket sätt hjälpte de dig?