I vårt dagliga liv observerar vi olika typer av rörelser såsom en bils linjära rörelse, en vibrationsrörelse av en sträng, en cirkelrörelse av en klocka osv ... En av de mest intressanta och väsentliga rörelserna är periodisk rörelse. En kropp sägs röra sig i en periodisk rörelse när den upprepar sin väg efter varje tidsintervall. Ett exempel på periodisk rörelse är rörelse från klockvisare, rotation av jorden, rörelse av en pendel, etc. När denna periodiska rörelse handlar om en fast referenspunkt kallas den en oscillerande rörelse. Simple Harmonic Oscillator är ett speciellt fall av oscillerande rörelse.
Vad är en enkel harmonisk oscillator?
En oscillator som utför den enkla harmoniska rörelsen kallas Simple Harmonic Oscillator. Den periodiska fram och tillbaka rörelsen av partiklar mot en fast medelpunkt kallas oscillerande rörelse. Det betecknas med formeln F = -kxn, där n är ett udda tal som anger antalet svängningar. När värdet n = 1 kallas den oscillerande rörelsen den enkla harmoniska rörelsen.
Simple Harmonic Oscillator består av en horisontellt placerad fjäder vars ena ände är fäst vid en fast punkt och den andra änden är fäst vid ett rörligt objekt med massa m. Massans position i jämvikt kallas medelpositionen. När massan dras parallellt med fjäderaxeln börjar den röra sig fram och tillbaka om medelpositionen. En återställningskraft, motsatt förskjutningsriktningen, verkar på massan som drar den mot medelpositionen. Denna enhet är nu känd som en enkel harmonisk oscillator.
Simple Harmonic OscillatorEkvation
I enkel harmonisk rörelse är återställningskraften direkt proportionell mot massans förskjutning och verkar i motsatt riktning mot förskjutningsriktningen och drar partiklarna mot medelpositionen.
Enligt Newtons lag ges den kraft som verkar på massan m av F = -kxn. Här är k konstanten och x betecknar förskjutningen av objektet från medelpositionen. Förskjutning är proportionell mot accelerationen av massan kring medelpositionen. I enkel harmonisk rörelse är värdet n = 1.
Eftersom accelerationen är proportionell mot förskjutning, a = dtvåx / dt två. Ersätt värdena i Newtons ekvation.
Således, F = ma , F = -kx.
Därför, -kx = ma —- (1)
-kx = m (dtvåx / dttvå)
Genom att ordna om, -kx / m = (dtvåx / dttvå).--(två)
Funktionen vars andra derivat i sig är med ett negativt tecken kommer att vara enkel harmonisk oscillatorlösning för ovanstående ekvation. Sine- och Cosine-funktionerna uppfyller detta krav.
f (x) = sin x, (dtvåx / dttvå) (f (x)) = -sin x
f (x) = cos x, (dtvåx / dttvå) (f (x)) = -cos x
För enkelhet väljs synd (Φ). Fasvinkeln beskriver massans förskjutningspositioner från medelpunkten. Vid medelpositionen, Φ = 0. När massan rör sig framåt och når maximal punkt, Φ = π / 2. När massan återgår till medelrörelse efter maximal framåtposition, Φ = π. När massan rör sig bakåt och når en maximal punkt, Φ = 3π / 2 och nu när den rör sig till medelpositionen, Φ = 2π.
Det som tas av massan för att slutföra en komplett fram och tillbaka cykel kallas den period som betecknas med T. Antalet sådan svängning som sker per tidsenhet kallas svängningsfrekvensen, f. A betecknar objektets extreampositioner och kallas också som amplitud. Således är förskjutningen av den enkla harmoniska rörelsen en algebraisk sinusformad funktion som ges
x = A sin ωt —- (3)
Där ω är vinkelfrekvensen härledd till Φ / t. Från ekv (2)
-kx / m = (dtvåx / dttvå). ω = 2πf, T = 1 / f
x = A sin (2πft + Φ), ersätt i (2)
-k (A sin (2πft + Φ) / m = -4πtvåftvåAsin (2πft + Φ)
Genom att lösa, f = (1 / 2π) √ (k / m)
ω = √ (k / m)
Således är x = Asin√ (k / m) t ekvationen för en enkel harmonisk oscillator.
Enkla harmoniska rörelsediagram
I en enkel harmonisk oscillator riktas återställningskraften på fjädern alltid i motsatt riktning mot massans förskjutning. När massan rör sig mot det positiva utströmningsläget + A är accelerationen och kraften negativa och maximala. När objektet rör sig mot medelpositionen från + A-positionen ökar hastigheten medan accelerationen är noll vid medelpositionen.
Enkel harmonisk rörelse.
Hastigheten och hastigheten för den enkla harmoniska oscillatorn kan härledas från ovanstående enkel harmonisk oscillatorvågform . Förskjutningen av objektet ges av x = Asinωt = Asin√ (k / m) t. Hastighet ges som V = ωA cos ωt. Acceleration ges som en = -ωtvåx. Perioden ges som T = 1 / f där f är frekvensen som ges ω / 2π, där ω = √ (k / m).
Kraften som verkar på massan vid medelposition är 0 och dess acceleration är också 0. I en enkel harmonisk oscillator är accelerationen proportionell mot förskjutningen. Tecken på kraft beror på förskjutningsriktningen för objektet från medelpositionen.
Enkla applikationer för harmonisk oscillator
Simple Harmonic Oscillator är ett fjädermassasystem. Den används i klockor som en oscillator, i gitarr, fiol. Det syns också i bil-stötdämparen där fjädrar är fästa vid bilhjulet för att säkerställa en smidigare körning. Metronome är också en enkel harmonisk oscillator som genererar kontinuerliga fästingar som hjälper musiker att spela ett stycke med konstant hastighet.
En enkel harmonisk rörelse kommer under den oscillerande rörelsekategorin periodisk rörelse. Alla oscillerande rörelser är periodiska men inte alla periodiska rörelser är oscillerande. Återställningskraften i en enkel harmonisk oscillator följer Hookes lag.
Enkel harmonisk rörelse beror på stelheten hos återställningskraften och objektets massa. En enkel harmonisk oscillator med stora massoscillationer med mindre frekvens. De oscillator med hög återställningskraft oscillerar med hög frekvens. Förskjutning, hastighet, amplitud och kraftparametrar hos den enkla harmoniska oscillatorn beräknas alltid från fjäderns medelposition. Frekvensen och perioden för svängningarna påverkas inte av amplituden. Vad är objektets hastighet och acceleration när fjädern är i sitt medelläge?
